Cho A(3;-13) H(-25;-9) là trực tâm J(-29/9;-15/27) là tâm đường tròn nội tiếp tam giac ABC Tìm B, C

Giải thích các bước giải:

Gọi $AK$ là đường kính của $(J)$

$\to \widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^o$

$\to KB//CH, KC//HB$

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to HK\cap BC=M$ là trung điểm mỗi đường

$\to JM$ là đường trung bình $\Delta HAK$

$\to \vec{AH}=2\vec{JM}$

$\to (-28, 4)=2\vec{JM}$

$\to (-14, 2)=\vec{JM}$

$\to (-14, 2)=(x_m+\dfrac{29}9, y_m+\dfrac{15}{27})$

$\to M(-14-\dfrac{29}9, 2-\dfrac{15}{27})$

$\to M(-\dfrac{155}9, \dfrac{13}9)$

Phương trình $BC$ là:

$-28(x+\dfrac{155}9)+4(y-\dfrac{13}9)\to -7x+y-122=0$

Tọa độ $BC$ là:

$\begin{cases}-7x+y-122=0\\ (x+\dfrac{29}9)^2+(y+\dfrac{15}{27})^2=(3+\dfrac{29}9)^2+(-13+\dfrac{15}{27})^2\end{cases}$

$\to \begin{cases}y=7x+122\\ (x+\dfrac{29}9)^2+(7x+122+\dfrac{15}{27})^2=(3+\dfrac{29}9)^2+(-13+\dfrac{15}{27})^2\end{cases}$

Giải $(x+\dfrac{29}9)^2+(7x+122+\dfrac{15}{27})^2=(3+\dfrac{29}9)^2+(-13+\dfrac{15}{27})^2$

$\to 50x^2+\dfrac{15500x}{9}+\dfrac{44510}{3}=0$ vô nghiệm 

Ta có 𝐻𝐾⊥𝐵𝐶,𝐾∈𝐵𝐶;𝐻𝐾→=(0;−2)⇒𝑦−1=0HK⊥BC,K∈BC;HK=(0;−2)⇒y−1=0

Gọi M là trung điểm của BC ta có phương trình 𝑥+3=0;𝑀=𝐼𝑀∩𝐵𝐶⇒𝑀(−3;1)x+3=0;M=IM∩BC⇒M(−3;1)

Gọi D là điểm đối xứng của A qua I chỉ ra BHCD là hình bình hành. Khi đó M là trung điểm của HD, suy ra D(-5;-1).

I là trung điểm của AD, suy ra A(-1;7)

𝐴𝐼=20AI=20​, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : (𝑥+3)2+(𝑦−3)2=20(x+3)2+(y−3)2=20

Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình :

{𝑦−1=0(𝑥+3)2+(𝑦−3)2=20{y−1=0(x+3)2+(y−3)2=20​⇔{𝑥=1𝑦=1⇔{x=1y=1​ hoặc {𝑥=−7𝑦=1{x=−7y=1​

Vậy ta có 𝐵(1;1),𝐶(−7;1)B(1;1),C(−7;1) hoặc 𝐵(−7;1),𝐶(1;1)B(−7;1),C(1;1)

Suy ra 𝐴(−1;7);𝐵(1;1),𝐶(−7;1)A(−1;7);B(1;1),C(−7;1)

   hoặc𝐴(−1;7);𝐵(−7;1),𝐶(1;1)A(−1;7);B(−7;1),C(1;1)