Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau?

Đáp án:

`604800` 

Giải thích các bước giải:

`-` Chọn và xếp `2` bạn nam bất kỳ ngồi hai vị trí đầu và cuối: `A_{7}^2 = 42` cách

`=>` Còn lại `8` chỗ ngỗi

`-` Nếu xếp bất kỳ `8` bạn còn lại vào hàng thì có: `8! = 40320` cách

`TH_1:` Hai bạn nữ bất kỳ luôn ngồi cạnh nhau

`+` Trong hai bạn nữ có `1` bạn ngồi ở hàng thứ hai hoặc hàng thứ chín ( `2` cách )

`=>` Có: `C_{3}^2 . 2! = 6` cách

Bạn nữ còn lại có: `5` cách

Các bạn nam còn lại có: `5! = 120` cách

$\Longrightarrow$ Tổng có: `2. (6.5.120) = 7200` cách

`+` Trong hai bạn nữ, không ai ngồi ở hàng thứ hai hoặc hàng thứ chín

`=>` Có: `C_{5}^1 . C_{3}^2 . 2! = 30` cách

Bạn nữ còn lại có: `4` cách

Các bạn nam còn lại có: `5! = 120` cách

$\Longrightarrow$ Tổng có: `30.4.120 = 14400` cách

`TH_2:` Ba bạn nữ luôn ngồi cạnh nhau

`=>` Có: `C_{6}^1 . 3! = 36` cách

Các bạn nam còn lại có: `5! = 120` cách

$\Longrightarrow$ Tổng có: `36.120 = 4320` cách

Vậy có tất cả `42.(40320-7200-14400-4320)=604800` cách

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bước 1: Buộc em nữ bất kì thành một buộc thì số cách đổi vị trí các em nữ trong buộc đó là:

            Em nữ thứ nhất có 3 cách xếp.

            Em nữ thứ hai có 2 cách xếp.

            Em nữ thứ ba có 1 cách xếp.

Suy ra số cách đổi 3 em nữ trong buộc đó là 3.2.1 = 6 cách.

Bước 2: Sau khi buộc 3 em nữ thì ta chỉ còn 8 phần tử. Số cách xếp 8 phần tử này là:

            Phần tử thứ nhất có 8 cách xếp.

            Phần tử thứ hai có 7 cách xếp.

            …        

            Phần tử thứ 8 có 1 cách xếp.

Suy ra số cách xếp cho 8 phần tử là 8.7.6.5.4.3.2.1 cách.

Theo quy tắc nhân thì 6.8.7.6.5.4.3.2.1 = 241920 cách.