Cho khai triển (1+2x+3x^2)^n=a0+a1x+a2x^2+...+a2n.x^2n.Tìm hệ số của x^5 trong khai triển trên biét a0+a2+a4+...+a2n=30233600

Helps Mấy cái 0,2,4,2n là hệ kí hiệu số hạng đó nha ko phải nhân đâu đấy

Đặt`f(x)=(1+2x+3x^2)^n = a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_(2n).x^(2n)`

`=> f(1) = 6^n = a_0+a_1+a_2 +...+a_(2n)`

`=> f(-1) = 2^n = a_0-a_1+a_2 -...+a_(2n)`

`=> f(1) + f(1) = 6^n + 2^n = 2(a_0+a_2+ a_4 +...+a_(2n))`

`=> 2^n(3^n +1)=2.30233600=2^11 .5^2 .1181`(phân tích một số thành thừa số nguyên tố bằng máy tính)

`=>  n in [0; 11]`

Ta có với `n = 10` thì `2^10 .(3^10 +1) =30233600.2`(Đoạn này lấy máy tính rồi mò giá trị của `n` từ `0` đến `11` thôi)

`=> n=10`

`(1+2x+3x^2)^10= \sum_{k=0}^{10}.C_10^k .(3x^2)^(10-k). (2x+1)^k`

`=\sum_{k=0}^{10}[C_10^k .3^(10-k).x^(20-2k). \sum_{q=0}^{k}(C_k^q. (2x)^(k-q). 1^q)]`

`=\sum_{k=0}^{10}[\sum_{q=0}^{k}(C_10^k. C_k^q .3^(10-k).2^(k-q).x^(20-k-q))]`

Số hạng tổng quát là: `C_10^k. C_k^q .3^(10-k).2^(k-q).x^(20-k-q)`.

Hệ số tổng quát là: `C_10^k. C_k^q .3^(10-k).2^(k-q)`

Số hạng chứa `x^5` khi:

`{(20-k-q = 5),(10>=k>=q>=0):} <=> {(k+q = 15),(10>=k>=q>=0):}`

Các giá trị `(k;q)` thoả mãn là `(10;5),(9;6),(8;7)`

Vậy hệ số của số hạng chứa `x^5` là

`C_10^10. C_10^5 .3^(10-10).2^(10-5)+C_10^9. C_9^6 .3^(10-9).2^(9-6)+C_10^8. C_8^7 .3^(10-8).2^(8-7) = 8064+20160+6480=34704`