Hãy đếm số cặp `(x;y)` nguyên thỏa mãn `2^{|x|+|y|}+log_3 [(|x|+|y|)/3]<=9` `?`

$\begin{array}{l}
{2^{\left| x \right| + \left| y \right|}} + {\log _3}\left[ {\dfrac{{\left| x \right| + \left| y \right|}}{3}} \right] \le 9\\
 \Leftrightarrow {2^{\left| x \right| + \left| y \right|}} + {\log _3}\left[ {\left| x \right| + \left| y \right|} \right] \le 10\left( * \right)\\
\text{Điều kiện}:\dfrac{{\left| x \right| + \left| y \right|}}{3} > 0 \Leftrightarrow \left| x \right| + \left| y \right| > 0\\
t = \left| x \right| + \left| y \right| > 0\\
 \bullet t = 1 \Rightarrow \left( * \right):{2^1} + {\log _3}1 \le 10\left( {TM} \right)\\
 \bullet t = 2 \Rightarrow \left( * \right):{2^2} + {\log _3}2 \le 10\left( {tm} \right)\\
 \bullet t = 3 \Rightarrow \left( * \right):{2^3} + {\log _3}3 = 9 \le 10\left( {tm} \right)\\
 \bullet t > 3 \Rightarrow t \ge 4 \Rightarrow \left( * \right):{2^t} + {\log _3}t \ge {2^4} + {\log _3}4 > 10\\
 \Rightarrow t = 1,2,3\\

\end{array}$

Với $t=1$ hay $|x|+|y|=1$ ta biểu diễn trên đồ thị hàm số $|x|+|y|=1$ là hình vuông có tâm $O$ và có cạnh bằng $\sqrt 2$

Tương tự với $t=2$ ta được hình vuông có tâm $O$ và có cạnh bằng $2\sqrt 2$ và $t=3$ thì ta được hình vuông có cạnh bằng $3\sqrt 2$

Tất cả các cặp $(x;y)$ nguyên thỏa mãn chính là tất cả các điểm có hoành độ và tung độ nguyên thuộc các đồ thị hàm số của ba hàm số trên.

Với đths $|x|+|y|=1$ thì ta được $4$ điểm thỏa mãn tương ứng với $4$ cặp $(x;y)$ nguyên

Với đths $|x|+|y|=2$ thì ta được $12$ điểm thỏa mãn tương ứng với $12$ cặp $(x;y)$ nguyên

Với đths $|x|+|y|=3$ thì ta được $16$ điểm thỏa mãn tương ứng với $16$ cặp $(x;y)$ nguyên

Vậy có tất cả $32$ cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.