Cho S.ABCD có ABCD là hình bình hành. M là trọng tâm tam giác SAB. N, P lần lượt là trung điểm SD, BC. Tìm giao điểm của MNP giao tất cả các mặt

Gọi $F$ là trung điểm của $AB$

Trong $(SFD)$ thì $MN$ cắt $KP$ tại $E$

Ta đi chứng minh $E,B,C$ thẳng hàng

Xét tam giác $SFD$ có $E,M,N$ thẳng hàng nên theo định lý Menelaus ta có:
$\begin{array}{l} \dfrac{{MS}}{{MF}}.\dfrac{{EF}}{{ED}}.\dfrac{{ND}}{{NS}} = 1 \Leftrightarrow 2.\dfrac{{EF}}{{ED}}.1 = 1\\  \Leftrightarrow \dfrac{{EF}}{{ED}} = \dfrac{1}{2} \end{array}$

Dễ thấy tam giác $EBF=FAD$ nên suy ra $EB=AD=BC$

Suy ra:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{EF}}{{ED}} = \dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{BF}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \overline {E,B,C} 
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \bullet BM \cap SA = \left\{ H \right\}\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ENC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\
\left( {ENC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\\
\left( {ENC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = HN\\
\left( {ENC} \right) \cap \left( {SAB} \right) = BH
\end{array} \right.
\end{array}$