Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: vectơ AB + vectơ CD = 2 vectơ MN.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để chứng minh rằng vectơ AB + vectơ CD = 2 vectơ MN, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và định lý về vectơ.

Gọi vectơ AM = a và vectơ BM = b. Ta có vectơ MN = vectơ BN - vectơ AM.

Vì M là trung điểm của AC, ta có vectơ AM = 1/2 vectơ AC. Tương tự, vì N là trung điểm của BD, ta có vectơ BN = 1/2 vectơ BD.

Vậy, vectơ MN = 1/2 vectơ BD - 1/2 vectơ AC.

Ta có vectơ AB = vectơ AM + vectơ MB = a + b. Và vectơ CD = vectơ CN + vectơ ND = -a - b (do vectơ CN = -vectơ AM và vectơ ND = -vectơ MB).

Khi đó, vectơ AB + vectơ CD = (a + b) + (-a - b) = 0.

Vậy, vectơ AB + vectơ CD = 0 = 2(1/2 vectơ BD - 1/2 vectơ AC) = 2 vectơ MN.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng vectơ AB + vectơ CD = 2 vectơ MN.