Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn:p^q+7q^p cũng là số nguyên tố CỐ GIÚP MÌNH NHA!!!

Giả sử `p,q > 2`

`=>` `p` và `q` đều là số lẻ

`=>` `p^q` và `q^p` đều là số lẻ

`=>` `p^q` và `7q^p` đều là số lẻ

`=>` `p^q+7q^p` là số chẵn

Mà `p,q > 2` `=>` `p^q+7q^p > 2`

`=>` `p^q+7q^p` không là số nguyên tố

`=>` Một trong hai số `p,q` phải bằng `2`

TH1: `p=2` `=>` `p^q+7q^p=2^q+7q^2`

Với `q=2` `=>` `p^q+7q^p=2^2+7*2^2=32` (Loại)

Với `q=3` `=>` `p^q+7q^p=2^3+7*3^2=71` (Thỏa mãn)

Với `q > 3` `=>` `2^q equiv 2 \ (mod 3)`

Ta có: `q > 3` mà `q` là số nguyên tố `=>` `q^2 equiv 1 \ (mod 3)`

`=>` `7q^2 equiv 1 \ (mod 3)`

`=>` `2^q + 7q^2 equiv 0 \ (mod 3)`

`=>` `p^q+7q^p \ (mod 3)`

Mà `p^q+7q^p > 3` với mọi `p=2,q > 3` `=>` `p^q+7q^p` không là số nguyên tố

`=>` Loại

TH2: `q=2` `=>` `p^q+7q^p=p^2+7*2^p`

Với `p=2` `=>` `p^q+7q^p=4+7*2^2=32` (Loại)

Với `p=3` `=>` `p^q+7q^p=3^2+7*2^3=65` (Loại)

Với `p > 3` `=>` `2^p equiv 2 \ (mod 3)` `=>` `7*2^p equiv 2 \ (mod 3)`

Ta có: `p > 3` nên `p` không chia hết cho `3` `=>` `p^2 equiv 1 \ (mod 3)`

`=>` `p^2+7*2^p equiv 0 \ (mod 3)`

`=>` `p^q + 7q^p equiv 0 \ (mod 3)`

Mà `p^q+7q^p > 3` với mọi `p > 3,q =2` `=>` `p^q+7q^p` không là số nguyên tố

`=>` Loại

Vậy `(p;q)=(2;3)` thỏa mãn bài toán

$\bullet$ Nếu `p;q` đều là số nguyên tố lẻ `=>p^q +7q^p\vdots 2=>p^q +7q^p =2` ( Do `p^q +7q^p` là số nguyên tố )

Mà `p^q +7q^p >=2^2 +7.2^2 =32=>` Vô lý

`=>` Trong `2` số `p;q` tồn tại ít nhất `1` số là số chẵn `=>p\vdots 2` hoặc `q\vdots 2=>q=2` hoặc `p=2` ( Do `p;q` là số nguyên tố )

$\bullet$ Với `q=2=>7.2^p +p^2` là số nguyên tố 

`+` Với `p=2=>7.2^p +p^2 =7.2^2 +2^2 =32` là hợp số `=>` Vô lý

`+` Với `p=3=>7.2^p +p^2 =7.2^3 +3^2 =65` là hớp số `=>` Vô lý

`+` Xét `p>3=>p` không chia hết cho `3=>p^2 ≡1(mod 3)` và `p` lẻ 

Ta có : `2≡-1(mod 3)=>2^p ≡(-1)^p =-1(mod 3)` ( Do `p` lẻ )

`=>7.2^p +p^2 ≡7.(-1)+1 =-6≡0(mod 3)`

Mà `7.2^p +p^2 >3=>7.2^p +p^2` là hợp số ( Vô lý )

$\bullet$ Với `p=2=>2^q +7q^2` là số nguyên tố

`+` Với `q=2=>2^q +7q^2 =2^2 +7.2^2 =32` là hợp số `=>` Vô lý 

`+` Với `q=3=>2^q +7q^2 =2^3 +7.3^2 =71` là số nguyên tố `=>` Nhận 

`+` Với `q>3=>q` không chia hết cho `3=>q^2 ≡1(mod 3)` và `q` lẻ

Ta có : `2≡-1(mod 3)=>2^q ≡(-1)^q =-1(mod 3)` ( Do `q` lẻ )

`=>2^q +7q^2 ≡ -1+7.1=6≡0(mod 3)`

Mà `2^q +7q^2 >3=>2^q +7q^2` là hợp số ( Vô lý )

Vậy `(p;q)=(2;3)`