Cho tam giác ABC ( góc B < 90 độ ), góc B = 2 lần góc C ( góc C nhỏ hơn 90 độ ). Kéo dài AB về phía B, lấy BE=BH, với H là chân đường cao hạ từ A, D là giao điểm HE và AC. a, CM : DA=DH=DC. b, CM : tam giác ADE = tam giác ABC. c, gọi B' đối xứng với B qua H. CM : tam giác AB'C cân.

Xét ΔBHE cân tại B có:

$\widehat{CBA}$ = $\widehat{BHE}$ + $\widehat{BEH}$ = 2.$\widehat{BHE}$ = 2.$\widehat{BEH}$(Vì $\widehat{CBA}$ là góc ngoài của góc $\widehat{HBE}$)

Mà $\widehat{CBA}$ = 2.$\widehat{BCA}$ (giả thiết)

⇒$\widehat{BHE}$ = $\widehat{BCA}$ = $\widehat{BEH}$

Mà $\widehat{BHE}$ = $\widehat{CHD}$ (đối đỉnh)

⇒$\widehat{BCA}$ = $\widehat{CHD}$ (1)

⇒ΔDHC cân tại D ⇒DH=DC (4)

Xét Δ CHA vuông tại H có:
$\widehat{BCA}$ + $\widehat{HAC}$ = $90^\circ$  (2)

$\widehat{CHD}$ + $\widehat{DHA}$ = $90^\circ$  (3)

Từ (1)(2)(3) ⇒$\widehat{HAC}$ = $\widehat{DHA}$

⇒ΔDHA cân tại D ⇒DH=DA (5)

Từ (4)(5) ⇒DA=DH=DC

b)Xét ΔADE và ΔABC có:

$\widehat{BCA}$ = $\widehat{BEH}$

$\widehat{A}$ chung

⇒ΔADE $\backsim$ ΔABC (g.g)

c)Gọi giao điểm của AB' và HD là N

AH là trung trực của B'B

⇒AB'=AB⇒ΔABB' cân tại A ⇒$\widehat{ABB'}$ = $\widehat{AB'B}$ (6)

ΔADE $\backsim$ ΔABC (theo b)

⇒$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADE}$ (7)

Từ (6)(7) ⇒$\widehat{ADE}$ = $\widehat{AB'B}$

Xét ΔB'NH và ΔDNA có:

$\widehat{ADE}$ = $\widehat{AB'B}$ (cmt)

$\widehat{B'NH}$ = $\widehat{DNA}$ (đối đỉnh)

⇒ΔB'NH $\backsim$ ΔDNA (g.g)

⇒$\widehat{B'HN}$ = $\widehat{DAN}$

hay $\widehat{CHD}$ = $\widehat{B'AC}$ 

Kết hợp với (1) ta được:

$\widehat{BCA}$ = $\widehat{B'AC}$ 

⇒ΔAB'C cân