Trong mặt phẳng toạ độ oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH và DC. Biết M(11;12), N(10;5),H(17;4). a. Tìm toạ độ điểm A và tính diện tích tam giác HMN. b. Tìm tọa độ điểm B.

a) Ta có do $M$ là trung điểm của $AH$ nên ta được:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_A} = 2{x_M} - {x_H} = 2.11 - 17 = 5\\ {y_A} = 2{y_M} - {y_H} = 2.12 - 4 = 20 \end{array} \right.\\  \Rightarrow A\left( {5;20} \right) \end{array}$  

Để ý rằng ta có $MH^2=100, MN^2=50, NH^2=50\Rightarrow MN^2+NH^2=MH^2$. Theo định lý Pytago đảo ta có tam giác $MNH$ vuông tại $N$

${S_{HMN}} = \dfrac{{MN.NH}}{2} = \dfrac{{\sqrt {50} .\sqrt {50} }}{2} = 25\left( {dvdt} \right)$

b) 

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {MN}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BH} } \right)\left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CN} } \right)\\
 = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {BA} \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CN} } \right)\\
 = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MC}  + \dfrac{1}{2}{{\overrightarrow {BA} }^2} + 0 + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {BA} } \right)\\
 = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BM} } \right)\\
 = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\\
B\left( {a;b} \right) \to \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {MN}  = 0\\
\overrightarrow {HB} .\overrightarrow {MN}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6\left( {a - 17} \right) - 8\left( {b - 4} \right) = 0\\
 - \left( {a - 11} \right) - 7\left( {b - 12} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 25\\
b = 10
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {25;10} \right)
\end{array}$