chứng minh rằng 1/3 của 1/3 của 1/3 của 1/3 ... của 1/3 luôn luôn bằng 1/2

$\textit{*baochaukrp}$

$\text{Để chứng minh rằng $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ ... của $\dfrac{1}{3}$ luôn bằng $\dfrac{1}{2}$}$

$\text{Ta sẽ sử dụng phương pháp giả định và chứng minh bằng quy nạp (induction).}$

$\text{Giả sử rằng $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ ... của $\dfrac{1}{3}$ bằng $\dfrac{1}{2}$}$

$\text{Gọi biểu thức này là $\textit{x}$, tức là: $\textit{x}$ = $\dfrac{1}{3}$ x ($\dfrac{1}{3}$ x ($\dfrac{1}{3}$ x ($\dfrac{1}{3}$ x ...)))}$

$\text{Ta sẽ chứng minh rằng nếu x = $\dfrac{1}{2}$, thì $\dfrac{1}{3}$ x $\textit{x}$ cũng bằng $\dfrac{1}{2}$}$

$\text{$\dfrac{1}{3}$ x $\textit{x}$ = $\dfrac{1}{3}$ x ($\dfrac{1}{3}$ x ($\dfrac{1}{3}$ x ($\dfrac{1}{3}$ x ...)))`}$

            $\text{= ($\dfrac{1}{3}$) x ($\dfrac{1}{2}$) = $\dfrac{1}{6}$}$

$\text{Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu x = $\dfrac{1}{2}$, thì $\dfrac{1}{3}$ x $\textit{x}$ = $\dfrac{1}{6}$}$

$\text{Do đó, nếu giả định rằng $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ ... của $\dfrac{1}{3}$ bằng $\dfrac{1}{2}$}$

$\text{Thì ta có thể chứng minh rằng $\dfrac{1}{3}$ của nó cũng bằng $\dfrac{1}{2}$}$

$\text{Vì vậy, $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ của $\dfrac{1}{3}$ ... của $\dfrac{1}{3}$ luôn luôn bằng $\dfrac{1}{2}$}$