Hai vật chuyển động với vận tốc không đổi trên hai đường thẳng vuông góc với nhau cho v1 = 30m/s , v2 = 20m/s. Tại thời điểm khoảng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật một giao điểm của quỹ đạo đoạn S1 = 500m, hỏi lúc đó vật hai cách giao điểm trên một đoạn S2 là bao nhiêu?

Đáp án:

\(750\left( m \right)\)

Giải thích các bước giải:

Khoảng cách giữa 2 vật là:

\(\begin{array}{l}
{d^2} = {\left( {{d_1} - {v_1}t} \right)^2} + {\left( {{d_2} - {v_2}t} \right)^2}\\
 \Rightarrow {d^2} = {\left( {{d_1} - 30t} \right)^2} + {\left( {{d_2} - 20t} \right)^2}\\
 \Rightarrow {d^2} = d_1^2 - 60{d_1}t + 900{t^2} + d_2^2 - 40{d_2}t + 400{t^2}\\
 \Rightarrow {d^2} = 1300{t^2} - 20t\left( {3{d_1} + 2{d_2}} \right) + d_1^2 + d_2^2\\
 \Rightarrow {d^2} = 1300\left( {{t^2} - 2.\dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}}.t + {{\left( {\dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}}} \right)}^2} - \dfrac{{9d_1^2 + 12{d_1}{d_2} + 4d_2^2}}{{16900}}} \right) + d_1^2 + d_2^2\\
 \Rightarrow {d^2} = 1300{\left( {t - \dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}}} \right)^2} + \dfrac{4}{{13}}d_1^2 - \dfrac{{12}}{{13}}{d_1}{d_2} + \dfrac{9}{{13}}d_2^2
\end{array}\)

Khoảng cách giữa 2 vật nhỏ nhất khi: 

\(t - \dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}} = 0 \Rightarrow t = \dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}}\)

Tại thời điểm đó: 

\(\begin{array}{l}
{s_1} = {d_1} - 30.\dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}} = \dfrac{{4{d_1}}}{{13}} - \dfrac{{6{d_2}}}{{13}} = 500\\
{s_2} = {d_2} - 20.\dfrac{{3{d_1} + 2{d_2}{\kern 1pt} }}{{130}} =  - \dfrac{{6{d_1}}}{{13}} + \dfrac{{9{d_2}}}{{13}}\\
 \Rightarrow {s_2} =  - \dfrac{3}{2}{s_1} =  - \dfrac{3}{2}.500 =  - 750\left( m \right)
\end{array}\)