Tìm tham số m để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài i cho trước: $x^{2}$ - (2m-1)x + 2m - 2 $\leq$ 0, i=5

Ta có: `Delta=(2m-1)^2-4(2m-2)=4m^2-12m+9=4(m-3/2)^2`

Nếu `Delta <= 0`

`=>` Bất phương trình `x^2-(2m-1)x+2m-2<=0` vô nghiệm hoặc có một nghiệm duy nhất

`=>` Loại

Xét `Delta > 0` `<=>` `m ne 3/2`

Gọi `x_1,x_2` là hai nghiệm của phương trình `x^2-(2m-1)x+2m-2=0` `(x_1 < x_2)`

Theo quy tắc xét dấu nhị thức, tập nghiệm của BPT `x^2-(2m-1)x+2m-2<=0` là `[x_1;x_2]`

Mà độ dài của đoạn `[x_1;x_2]` là `5` `=>` `x_2-x_1=5`

`<=>` `(x_2-x_1)^2=25`

`<=>` `x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=25`

`<=>` `(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25`

`<=>` `(2m-1)^2-4(2m-2)=25`

`<=>` `4m^2-12m-16=0`

`<=>` `[(m=-1),(m=4):}`

Vậy ........................................

`<=>x^2-(2m-1)x+2m-2=0` có `2` nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thỏa mãn `|x_1-x_2|=5`

`Delta=(2m-1)^2-4(m-2)=4m^2-12m+9=(2m-3)^2`

PT có `2` nghiệm phân biệt khi `(2m-3)^2>0=>m ne 3/2`

Theo hệ thức Vi-ét: `{(x_1+x_2=2m-1),(x_1x_2=2m-2):}`

`|x_1-x_2|=5<=>(x_1-x_2)^2=25`

`<=>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25`

`<=>(2m-1)^2-4(m-2)=25`

`<=>(2m-3)^2=25`

`=>[(2m-3=5),(2m-3=-5):}`

`=>[(m=4),(m=-1):}`