Làm giúp em với với Đang cần gấp ạ

Đáp án: $C$

Giải thích các bước giải:

Ta chứng minh kết quả sau: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng bất kì không qua $S$ cắt $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $A', B', C', D'.$ Khi đó ta có $\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{SD}{SD'}+\dfrac{SB}{SB'}.$
Chứng minh: (Xem hình 1) Gọi $AC$ cắt $BD$ tại $O$ và $A'C'$ cắt $B'D'$ tại $O'.$ Ta có $SO$ là giao tuyến của $SAC$ và $SBD,$ $SO'$ là giao tuyến của $SA'C'$ và $SB'D'$ mà $(SA'C')=(SAC), (SB'D')=(SBD)$ nên$SO \equiv SO'$ hay $S,O,O'$ thẳng hàng.
(Xem hình 2) Từ $A, C$ vẽ $AP, CQ \parallel SO (P, Q \in A'C')$. Do $OO'$ là đường trung bình hình thang $APQC$ nên $AP+CQ=2OO'.$

Theo Thales, ta có: $\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=1+\dfrac{AA'}{SA'}+1+\dfrac{CC'}{SC'}=2+\dfrac{AP}{SO'}+\dfrac{CQ}{SO'}=2+\dfrac{2OO'}{SO'}=\dfrac{2SO}{SO'}.$
Khi đó chứng minh tương tự thì $\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SD}{SD'}=\dfrac{2SO}{SO'}.$
(Xem hình 1) Do đó $\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{SD}{SD'}+\dfrac{SB}{SB'}.$
(Xem hình 3) Áp dụng vào bài, ta có: $\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}=\dfrac{SA}{SM}+\dfrac{SC}{SP}=3.$

Ta có: $\dfrac{S_{SBD}}{S_{SNQ}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot SB\cdot SD \cdot \sin{BSD}}{\dfrac{1}{2}\cdot SN\cdot SQ \cdot \sin{NSQ}}=\dfrac{SB\cdot SD}{SN\cdot SQ}.$

Áp dụng bất đẳng thức $4ab \le (a+b)^2,$ ta có

$\dfrac{4SB\cdot SD}{SN\cdot SQ} \le \left(\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}\right)^2=9 \Rightarrow \dfrac{SB\cdot SD}{SN\cdot SQ} \le \dfrac{9}{4} \Rightarrow \dfrac{S_{SBD}}{S_{SNQ}} \le \dfrac{9}{4}.$
Mà tam giác $SBD$ đều cạnh là $a$ nên $S_{SBD}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}}{S_{SNQ}} \le \dfrac{9}{4} \Rightarrow S_{SNQ} \ge \dfrac{a^2\sqrt{3}}{9}.$