Một con lắc lò xo nằm nang dao động điều hòa với cơ năng 0,5J. Tại t=0, động năng của con lắc là Eđ1=Eo. Tại thời điểm t=Δt, thế năng của con lắc là Et=2Eo. Tại thời điểm t=2Δt thì con lắc quay trở về vị trí ban đầu lần đầu tiên. Tại thời điểm t=19/9 Δt, động năng của con lắc là Eđ2=Eo/2 . Tính động năng của con lắc tại thời điểm t=6/9 Δt.

Đáp án:

`E_d'=1/4(J)`

Giải thích các bước giải:

Tại thời điểm `t=Delta t` thì con lắc quay trở về vị trí ban đầu lần đầu tiên.

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: `T=2 Delta t`

Dựa vào đường tròn lượng giác

Tại `t=Delta t`:

\(E_t=2E_0=E_{t_1}\\\Rightarrow E=0,5=E_{d_1}+E_{t_1}=3E_0\\\Rightarrow E_0=\dfrac{1}{6}(J)\\\Rightarrow E_t=\dfrac{1}{3}(J)\)

Xét vị trí `t_0`:

\(\dfrac{E_t}{E}=\dfrac{\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2}{\dfrac{1}{2}m\omega^2A^2}=\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{0,5}=\dfrac{2}{3}\\\Rightarrow x=\dfrac{A\sqrt{6}}{3}\\T=2\Delta t\Rightarrow \Delta t=\dfrac{T}{2}\\t=\dfrac{6}{9}\Delta t=\dfrac{T}{3}\\\Rightarrow x=A\cos\left(180^o-120^o-\arccos\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)\\\dfrac{E_t'}{E}=\dfrac{x^2}{A^2}=\cos\left(180^o-120^o-\arccos\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^2\\\Rightarrow E_t'\approx 0,412(J)\Rightarrow E_d'=0,088(J)\)

Thử lại với vị trí `t=19/9 Delta t`:

\(t=\dfrac{19}{9}\Delta t=\dfrac{19}{18}T=T+\dfrac{T}{18}\\\Rightarrow \alpha=360^o+20^o\\\Rightarrow x=A\cos\left(\arccos\dfrac{\sqrt{6}}{3}+20^o\right)\\\dfrac{E_{t_2}}{E}=\dfrac{x^2}{A^2}=\cos\left(\arccos\dfrac{\sqrt{6}}{3}+20^o\right)^2\\\Rightarrow E_{t_2}\approx 0,162(J)\\\Rightarrow E_{d_2}=E-E_{t_2}\approx 0,338 (J) \ne \dfrac{E_0}{2}\)

Suy ra trường hợp 1 không thoả mãn dữ liệu đề bài.

Trường hợp 2: Vật qua vị trí ban đầu ở chiều đối diện lần đầu tiên.

Dựa vào đường tròn lượng giác

Tại `t=Delta t` vật ở vị trí biên âm nên thế năng đạt cực đại.

`E_(t_(max))=E=0,5(J)=2E_0`

`=> E_0=0,25(J)`

Vị trí ban đầu `E_(d_1)=0,25(J)=> E_(t_1)=0,25(J)`

\(\dfrac{E_{t_1}}{E}=\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow x=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}\\\Rightarrow \Delta t=\dfrac{45+90}{360}.T=\dfrac{3T}{8}\\t=\dfrac{6}{9}\Delta t=\dfrac{T}{4}\\\Rightarrow x=-\dfrac{A\sqrt{2}}{2}\\\Rightarrow E_d'=E_t'=\dfrac{E}{2}=0,25(J)\)

Thử lại với vị trí `t=19/9 Delta t`:

\(t=\dfrac{19}{9}\Delta t=\dfrac{19}{24}T\\\Rightarrow \alpha=285^o\\\Rightarrow x=\dfrac{A\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{E_{t_2}}{E}=\dfrac{x^2}{A^2}=\dfrac{3}{4}\\\Rightarrow E_{t_2}=\dfrac{3}{8}(J)\\\Rightarrow E_{d_2}=E-E_{t_2}=\dfrac{1}{8} (J) = \dfrac{E_0}{2}\)

Suy ra trường hợp 2 thoả mãn dữ liệu đề bài.