CMR: 1/a^2+1/b^2+1/c^2 >=1/4 r^2 với r là bán kính nội tiếp đường tròn

Sửa đề: $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} \le \dfrac{1}{{4{r^2}}}$

Đặt $p=\dfrac{a+b+c}{2}, S=pr$

$\begin{array}{l}
4\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right) \le {\left( {p - b + p - c} \right)^2} = {\left( {2p - b - c} \right)^2}\\
 = {\left( {a + b + c - b - c} \right)^2} = {a^2}\\
tt:\left\{ \begin{array}{l}
4\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right) \le {b^2}\\
4\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right) \le {c^2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{{a^2}}} \le \dfrac{1}{{4\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
\dfrac{1}{{{b^2}}} \le \dfrac{1}{{4\left( {p - a} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
\dfrac{1}{{{c^2}}} \le \dfrac{1}{{4\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} \le \\
\dfrac{1}{4}\left[ {\dfrac{1}{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right)}}} \right]\\
 = \dfrac{1}{4}\dfrac{{p - c + p - a + p - b}}{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}} = \dfrac{p}{{4\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}}\\
 = \dfrac{{{p^2}}}{{4p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}} = \dfrac{{{p^2}}}{{4{S^2}}} = \dfrac{1}{4}{\left( {\dfrac{p}{S}} \right)^2} = \dfrac{1}{{4{r^2}}}
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$  hay tam giác $ABC$ đều.

Theo định lý Euler, ta có công thức sau đây:

1/r^2 = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2

bất đẳng thức AM-HM cho các số a^-2, b^-2, c^-2, ta có:

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^-2b^-2 + b^-2c^-2 + c^-2a^-2)

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^-2b^-2 + b^-2c^-2 + c^-2a^-2)

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^-2b^-2 + b^-2c^-2 + c^-2a^-2)(a^2b^2c^2/a^2b^2c^2)

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^-2b^-2c^-2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2))

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(abc)^2

mặt khác r=abc/4S

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(abc)^2

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(16S^2)

(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 3(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(16sr^2)

ta có (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(16sr^2) = (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)/(4r^2) = 1/4r^2 (do công thức Euler)

=>(a^-2 + b^-2 + c^-2)^2 ≥ 1/4r^2

Vậy, bất đẳng thức CMR đã được chứng minh.