Một cửa hàng làm kệ sách và bàn làm việc. Mỗi kệ sách cần 5 giờ chế biến gỗ và 4 giờ hoàn thiện. Mỗi bàn làm việc cần 10 giờ chế biến gỗ và 3 giờ hoàn thiện. Mỗi tháng cửa hàng có không quá 600 giờ để chế biến gỗ và không quá 24 giờ để hoàn thiện. Lợi nhuận của mỗi kệ sách là 400 nghìn đồng và mỗi bàn là 750 nghìn đồng. Hỏi mỗi tháng phải làm bao nhiêu kệ sách và bàn làm việc để cửa hàng thu được lợi nhuận tối đa?

Theo bài toán, ta có:

Tổng thời gian chế biến gỗ trong mỗi tháng là 600 giờ.

Tổng thời gian hoàn thiện trong mỗi tháng là 24 giờ.

Lợi nhuận của mỗi kệ sách là 400 nghìn đồng.

Lợi nhuận của mỗi bàn làm việc là 750 nghìn đồng.

Để tìm ra số lượng kệ sách và bàn làm việc cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần lập mô hình toán học sau:

$$ \begin{aligned} &\max \quad 400x + 750y \ &\text{subject to} \ &5x + 10y \leq 600 \ &4x + 3y \leq 24 \ &x, y \geq 0 \end{aligned} $$

Bằng cách sử dụng phương pháp Simplex, ta có thể giải được bài toán này và tìm được nghiệm tối ưu là:

$$ x = 30, y = 12 $$

Vậy, mỗi tháng cửa hàng cần sản xuất 30 kệ sách và 12 bàn làm việc để tối đa hóa lợi nhuận.

Lợi nhuận tối đa

Lợi nhuận tối đa mà cửa hàng có thể đạt được là:

$$ 400 \cdot 30 + 750 \cdot 12 = 25.200.000 đồng $$

Giải thích

Ta thấy rằng, tổng thời gian chế biến gỗ trong mỗi tháng là 600 giờ, trong đó 5x giờ được sử dụng để chế biến kệ sách và 10y giờ được sử dụng để chế biến bàn làm việc. Từ đó, ta có:

$$ 5x + 10y \leq 600 $$

Tương tự, ta có:

$$ 4x + 3y \leq 24 $$

Để tối đa hóa lợi nhuận, ta cần sản xuất nhiều kệ sách và bàn làm việc nhất có thể trong khi vẫn đảm bảo không vượt quá tổng thời gian chế biến gỗ và hoàn thiện trong mỗi tháng.

Từ nghiệm tối ưu, ta thấy rằng x = 30 và y = 12. Điều này có nghĩa là cửa hàng cần sản xuất 30 kệ sách và 12 bàn làm việc trong mỗi tháng.

Lợi nhuận tối đa mà cửa hàng có thể đạt được là:

$$ 400 \cdot 30 + 750 \cdot 12 = 25.200.000 đồng $$

Lợi nhuận này được tính như sau:

Lợi nhuận của 30 kệ sách là 400 nghìn đồng/kệ sách * 30 kệ sách = 12.000.000 đồng.

Lợi nhuận của 12 bàn làm việc là 750 nghìn đồng/bàn làm việc * 12 bàn làm việc = 9.000.000 đồng.

Tổng lợi nhuận là 12.000.000 đồng + 9.000.000 đồng = 21.000.000 đồng.

Như vậy, bằng cách sản xuất 30 kệ sách và 12 bàn làm việc trong mỗi tháng, cửa hàng có thể thu được lợi nhuận tối đa là 25.200.000 đồng.

Tham khảo