Xét mệnh đề P đúng hay sai và giải thích ạ ! Nếu thấy đúng mình sẽ cho 5 sao và tlhn nhé

Ta xét hai trường hợp: $n$ chẵn và $n$ lẻ.

+) Trường hợp 1: $n$ chẵn, tức $n = 2k, k\in\mathbb{N}$.

Khi đó, ${n^2} + 1 = {\left( {2k} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 1$ chia 4 dư 1.

Vậy trường hợp 1 không thoả mãn.

+) Trường hợp 2: $n$ lẻ, tức $n=2k+1, k\in\mathbb{N}.$

Khi đó, \[\begin{gathered} {n^2} + 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 1 + 1 = 4{k^2} + 4k + 2 \\ = 4k\left( {k + 1} \right) + 2. \\ \end{gathered} \]

Vì $k, k+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên $k\left( {k + 1} \right) \vdots 2$

Suy ra $4k\left( {k + 1} \right) \vdots 8$ nên nó cũng chia hết cho 4.

Do đó, $4k\left( {k + 1} \right) + 2$ chia 4 dư 2 không chia hết cho 4.

Vậy trường hợp 2 không thoả mãn, nghĩa là không có số tự nhiên $n$ nào thoả mãn $\left. 4 \right|{n^2} + 1.$