Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường thẳng với gia tốc mà độ lớn a phụ thuộc vào vận tốc $v$ theo quy luật $a=C\sqrt{v}$, trong đó $C$ là một hằng số dương. Tại thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm đó là $v_0=10m/s$. Tính quãng đường chất điểm đi được cho đến khi dừng lại và thời gian đi hết quãng đường đó. :V Dùng hết những gì bạn có nhưng đừng khó quá :V

Chọn gốc tọa độ tại điểm xuất phát, chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của chất điểm, gốc thời gian tại lúc chất điểm xuất phát.

Vì chất điểm chuyển động chậm dần.

Nên $a'v<0\Rightarrow a'<0$ $($Vì $v_0>0)$

$\Rightarrow a'=-a=-C\sqrt{v}$

Ta có: $a'=\dfrac{dv}{dt}$

$\Leftrightarrow -C\sqrt v=\dfrac{dv}{dt}$

$\Leftrightarrow dt=-\dfrac{dv}{C\sqrt v}$

Tích phân hai vế:

      $\displaystyle\int^{t}_{0}dt=\displaystyle\int^{0}_{v_0}-\dfrac{dv}{C\sqrt v}$

$\Leftrightarrow t~\displaystyle\Bigg|^{t}_{0}=\displaystyle\int^{0}_{v_0}-\dfrac{2\sqrt v~d(\sqrt v)}{C\sqrt v}$

$\Leftrightarrow t~\displaystyle\Bigg|^{t}_{0}=\displaystyle\int^{0}_{v_0}-\dfrac{2~d(\sqrt v)}{C}$

$\Leftrightarrow t~\displaystyle\Bigg|^{t}_{0}=-\dfrac{2}{C}\sqrt v~\displaystyle\Bigg|^{0}_{v_0}$

$\Leftrightarrow t-0=0-\left(-\dfrac{2}{C}\sqrt{10}\right)$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{2\sqrt{10}}{C}~(s)$

Lại có:

      $v=\dfrac{ds}{dt}$

$\Leftrightarrow v=-\dfrac{C\sqrt v~ds}{dv}$

$\Leftrightarrow ds=-\dfrac{v~dv}{C\sqrt{v}}=-\dfrac{\sqrt v~dv}{C}$

Tích phân hai vế:

      $\displaystyle\int^{s}_{0}ds=\displaystyle\int^{0}_{v_0}-\dfrac{\sqrt v~dv}{C}$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int^{s}_{0}ds=\displaystyle\int^{0}_{v_0}-\dfrac{2v~d(\sqrt v)}{C}$

$\Leftrightarrow s~\displaystyle\Bigg|^{s}_{0}=-\dfrac{2(\sqrt v)^3}{3C}~\displaystyle\Bigg|^{0}_{v_0}$

$\Leftrightarrow s-0=0-\left(-\dfrac{2\cdot10\cdot\sqrt{10}}{3C}\right)$

$\Leftrightarrow s=\dfrac{20\sqrt{10}}{3C}~(m)$

Vậy thời gian từ khi xuất phát đến khi dừng lại của chất điểm là $\dfrac{2\sqrt{10}}{C}~s$, quãng đường chất điểm đi được là $\dfrac{20\sqrt{10}}{3C}~m$.

__________

$*$ Lưu ý:

$-$ Khi nguyên hàm thì có cộng thêm một hằng số nữa, nhưng do cách chọn gốc tọa độ, gốc thời gian,...nên mấy hằng số đó $=0$ hết rồi.

$-$ Có gì chưa hiểu cứ hỏi, thấy sai chỗ nào thì cứ góp ý nhé.

Gia tốc chuyển động của vật:

$a=-C\sqrt{v}=-Cv^{\frac{1}{2}}$

Ta có:

$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{vdv}{ds}=-Cv^{\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow ds=\dfrac{-v^{\frac{1}{2}}dv}{C}$

Tích phân hai vế ta được quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại:

$s=-\dfrac{2}{3C}(0^{\frac{3}{2}}-v_0^{\frac{3}{2}})=\dfrac{20\sqrt{10}}{3C}$

Thời gian đi hết quãng đường:

$v=\dfrac{ds}{dt} \Rightarrow dt=\dfrac{ds}{v}=-\dfrac{v^{-\frac{1}{2}}dv}{C}$

Tích phân hai vế suy ra:

$t=\dfrac{2v_0^{\frac{1}{2}}}{C}=\dfrac{2\sqrt{10}}{C}$