Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. AB = 5 căn 2, BC = 3 căn 10, CD= 6 và AD = 2 căn 5. Tính diện tích tứ giác ABCD

Giả sử tứ giác `ABCD` nội tiếp đường tròn tâm `O`

`→hat{ADC}+hat{ABC}=180^o`

`→cos hat{ABC}=-cos hat{ADC}`

`sin hat{ABC}=sin hat{ADC}`

Xét `ΔADC` có :

`cos hat{ADC}=(AD^2+CD^2-AC^2)/(2.AD.CD)(1)` ( định lý cosin)

Xét `ΔABC` có :

`AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cos hat{ABC}`

`→AC^2=AB^2+BC^2+2.AB.BC.cos hat{ADC}(2)`( định lý cosin)

Thay `(2)` vào `(1)`:

`cos hat{ADC}=(AD^2+CD^2-AB^2-BC^2-2.AB.BC.cos hat{ADC})/(2.AD.CD)`

`⇔2.AD.CD.cos hat{ADC}=AD^2+CD^2-AB^2-BC^2`

`⇔(2.AD.CD+2.AB.BC)cos hat{ADC}=AD^2+CD^2-AB^2-BC^2`

`⇔cos hat{ADC}=(AD^2+CD^2-AB^2-BC^2)/(2.AD.CD+2.AB.BC)`

`⇔cos hat{ADC}=(20+36-50-90)/(24sqrt(5)+30sqrt(20))`

`⇔cos hat{ADC}=-sqrt(5)/5`

`→sin hat{ADC}=sqrt(1-(-sqrt(5)/5)^2)=(2sqrt(5))/5=sin hat{ABC}`

`S_(ΔADC)=1/2. AD.CD.sin hat{ADC}`

`=1/2 .  2sqrt(5) .6 .(2sqrt(5))/5=12`

`S_(ΔABC)=1/2. AB.CB.sin hat{ABC}`

`=1/2 . 5sqrt(2) .3sqrt(10) .(2sqrt(5))/5=30`

`→S_(ABCD)=12+30=42`