Cho hai bộ số `a_1, a_2 , ... , a_n` ;`b_1 , b_2 , .... , b_n` và hai số `p, q` thỏa mãn : `p^2 + q^2 > \sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} b_i^2`. CMR : `(p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) <= (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2` Giúp e trước 12h thứ 4 nha

Đầu tiên, ta có thể mở ngoặc bên trái và bên phải của bất đẳng thức để thu được:

`(p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 <= 0`

Tiếp theo, ta có thể phân tích biểu thức bên trái của bất đẳng thức:

`(p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 = (p^2q^2 - p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (p^2q^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2)`

Tiếp theo, ta có thể rút gọn biểu thức trên:

`(p^2q^2 - p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2) - (p^2q^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2) = - p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2`

Tiếp theo, ta có thể nhóm các thành phần của biểu thức trên:

`- p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 = - (p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 + q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2) + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2`

Cuối cùng, ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng:

`- (p^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 + q^2\sum_{i = 1}^{n} a_i^2 - 2pq\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i + (\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2) + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2 = - (p\sum_{i = 1}^{n} b_i - q\sum_{i = 1}^{n} a_i + \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2 + \sum_{i = 1}^{n} a_i^2\sum_{i = 1}^{n} b_i^2`

Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức

 `(p^2 - \sum_{i = 1}^{n} a_i^2)(q^2 - \sum_{i = 1}^{n} b_i^2) <= (pq - \sum_{i = 1}^{n} a_i b_i)^2`