Cho `a, b, c` là các số thực không âm thỏa mãn `a^2+b^2+c^2=3`. Chứng minh rằng: `a/(b+2) + b/(c+2) + c/(a+2) <= 1`

`a/(b+2)+b/(c+2)+c/(a+2)<=1`

$\bullet$ Do `a;b;c` có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử `a>=b>=c>=0`

Bất đẳng thức `<=>(a(c+2)(a+2))/((a+2)(b+2)(c+2))+(b(b+2)(a+2))/((a+2)(b+2)(c+2))+(c(b+2)(c+2))/((a+2)(b+2)(c+2))<=((a+2)(b+2)(c+2))/((a+2)(b+2)(c+2))`

`<=>a(ac+2c+2a+4)+b(ab+2b+2a+4)+c(bc+2b+2c)<=(ab+2a+2b+4)(c+2)`

`<=>a^2 c+2ac+2a^2 +4a+b^2 a+2b^2 +2ab+4b+bc^2 +2bc+2c^2 <=abc+2ac+2bc+4c+2ab+4a+4b+8`

`<=>a^2 c+b^2 a+bc^2 +2a^2 +2b^2 +2c^2 <=abc+8`

`<=>a^2 c+b^2 a+bc^2 +2.3<=abc+8` ( Do `a^2 +b^2 +c^2 =3` )

`<=>a^2 c+b^2 a+bc^2 <=abc+2`

`<=>abc+2-a^2 c-b^2 a-bc^2 >=0`

`<=>b^3 -b^3 -a^2 b -bc^2 +2+a^2 b -b^2 a -a^2 c+abc>=0`

`<=>b^3 -b(a^2 +b^2 +c^2)+2+ab(a-b)-ac(a-b)>=0`

`<=>b^3 -3b+2+(ab-ac)(a-b)>=0` ( Do `a^2 +b^2 +c^2 =2` )

`<=>b^3 -2b^2 +b+2b^2 -4b+2+a(b-c)(a-b)>=0`

`<=>b(b^2 -2b+1)+2(b^2 -2b+1)+a(b-c)(a-b)>=0`

`<=>(b+2)(b^2 -2b+1) +a(b-c)(a-b)>=0`

`<=>(b+2)(b-1)^2 +a(b-c)(a-b)>=0` ( Luôn đúng `AAa>=b>=c>=0` ) 

Dấu "=" xảy ra `<=>a=b=c=1` hoặc `a=0;b=1;c=\sqrt{2}` và các hoán vị 

Vậy `a/(b+2)+b/(c+2)+c/(a+2)<=1`

Biến đổi bất đẳng thức ta được

$\begin{array}{l}
a\left( {a + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + b\left( {b + 2} \right)\left( {a + 2} \right) + c\left( {c + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\\
 = \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} \le 2 + abc
\end{array}$

Không mất tính tổng quát giả sử $\min \left\{ {a,b,c} \right\} \le b \le \max \left\{ {a,b,c} \right\}$

Dưới giả thiết trên ta được:

$2-ab^2-bc^2-ca^2+abc=2-ab^2-b(3-a^2-b^2)-ca^2+abc =(b^3-3b+2)-a(b^3-ba+ca-bc) =(b-1)^2(b+2)-a(b-a)(b-c)\ge 0$

Vì $\min \left\{ {a,b,c} \right\} \le b \le \max \left\{ {a,b,c} \right\}$ nên theo điều giả sử là chính xác.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$ hoặc $(a,b,c)=(0,1,\sqrt{2})$ và các hoán vị vòng quanh của nó.