CHo đa giác đều `A_1A_2...A_n` nội tiếp đường tròn `(O,R)`.Với mọi điểm `M` thuộc đường tròn `(O,r)` ta có: `\sum_{i=1}^{n}MA_i^4=k_4=n(R^2+r^2)^2+2nR^2r^2` Có chill box `500->4000`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Xét `ΔMOA_1`, đặt `hat(MOA_1)=alpha` ta có:

`MA_1^2=OM^2+OA-1^2-2OM.OA_1.cosalpha`

`=>MA_1^2=R^2+r-2Rrcosalpha`

Xét `ΔMOA_2` do `hat(MOA_2)=hat(MOA_1)+hat(A_1OA_2)=alpha+(2π)/(n)` nên

`MA_2^2=R^2+r-2Rrcos(alpha+(2π)/n)`

`...`

`MA_i^2=R^2+r^2-2Rrcos(a+(i-1).(2π)/n)`

`...`

`=>MA_n^2=R^2+r-2Rrcos(alpha+(n-1).(2π)/n)`

Bình phương `n` đẳng thức trên rồi cộng vế với vế ta được:

`\sum_{i=1}^{n}MA_i^4=n(R^2+r^2)^2-4Rr(R^2+r^2).\sum_{i=1}^{n}cos(a+(i-1)(2π)/n)+4R^2r^2.\sum_{i=1}^{n}cos^2(a+(i-1)(2π)/n)`

Mặt khác: `\sum_{i=1}^{n}cos(a+(i-1)(2π)/n)=0`

và `\sum_{i=1}^{n}cos^2(a+(i-1)(2π)/n)=n/2`

Thay các kết quả vào đẳng thức trên ta được:

`\sum_{i=1}^{n}MA_i^4=n(R^2+r^2)^2+4R^2r^2.n/2` hay

`\sum_{i=1}^{n}MA_i^4=k_4=n(R^2+r^2)^2+2R^2r^2.n` `(k_4` là hằng số`)`