:)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Đáp án:

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có hai tính chất quan trọng sau:
-1. Đường thẳng qua tâm I và vuông góc với BC (đường cao từ I) cắt MN, NP, MP lần lượt tại A', B', C'.
-2. Đường thẳng qua tâm O và vuông góc với BC (đường cao từ O) cắt MN, NP, MP lần lượt tại D', E', F'.
-Ta cần chứng minh rằng D', E' và F' thuộc vào một đường thẳng duy nhất.
Đầu tiên, ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác để suy ra: góc MIB = góc MAB + góc ABI = góc ACB/2 + góc ABC/2 = (góc ACB + góc ABC)/2 = 90°/2 = 45°
Tương tự, góc NIB = 45° góc PIB = 45°
-Do đó, MIB là tam giác vuông cân.
Vì vậy, IM=MB=MC => IM=MB'=MC'
Tương tự, ta có: IO=OB=OC => IO=OB'=OC'
Do đó, IOB' là tam giác vuông cân.
-Vì vậy, góc IB'O = góc B'OI = 45°
Tương tự, ta có: góc IC'O = 45° Do đó, IC'O là tam giác vuông cân.
Từ đây, ta suy ra rằng các góc góc B'IC', góc C'IA', và góc A'B'I bằng nhau và mỗi góc bằng 90° - (góc ACB + góc ABC)/2.
-Vì vậy, A', B', C' thuộc vào một đường thẳng duy nhất (đường thẳng Euler của tam giác MNP).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng Euler của tam giác MNP đi qua một điểm cố định.