Cho bất phương trình `(m^2-4)x^2+(m-2)x+1<0` .Tập tất cả các giá trị của tham số `m` làm cho bất phương trình vô nghiệm có dạng `(-\oo;a]uu[b;+\oo).`Tính `ab`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$TH_1: m^2 - 4 = 0$

$\Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2 \Leftrightarrow (2 - 2)x + 1 < 0$

$\Leftrightarrow 1 < 0$(vô lý)

$\Rightarrow$ Loại

Với $m = -2 \Leftrightarrow (-2 - 2)x + 1 < 0$

$\Leftrightarrow -4x + 1 < 0$

$\Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}(ktm)$

$\Rightarrow$ Loại 

$TH_2: m^2 - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2$

Bất phương trình vô nghiệm với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} a > 0 \\ \Delta \le 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} m^2 - 4 > 0 \\ (m - 2)^2 - 4(m^2 - 4) \le 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} \left[ \begin{array}{l}m>2\\m<-2\end{array} \right. \\ m^2 - 4m + 4 - 4m^2 + 16 \le 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} \left[ \begin{array}{l}m>2\\m<-2\end{array} \right. \\ -3m^2 - 4m + 20 \le 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} \left[ \begin{array}{l}m>2\\m<-2\end{array} \right. \\ m \in \bigg(-\infty; -\dfrac{10}{3}\bigg] \cup [2; \infty) \end {cases}$

$\Leftrightarrow m \in \bigg(-\infty; -\dfrac{10}{3}\bigg) \cup [2; \infty)$
$\Rightarrow a = -\dfrac{10}{3}, b = 2$
$\Rightarrow ab = -\dfrac{10}{3} . 2 = -\dfrac{20}{3}$