chứng minh P(x+2) - P(x)=0 thì P(x) là hàm hằng

Đáp án:

 Ta có P(x+2) - P(x) = 0

   <=> x+2-x =0 

   <=> 2=0

Giải thích các bước giải:

Hàm hằng là một loại hàm số mà giá trị đầu ra luôn luôn không thay đổi so với mọi giá trị đầu vào

Ví dụ: Lấy đề bài làm ví dụ 

Khi x=1 thì P(x)=2

Khi x=-100 thì P(x)=2

Khi x=1000000 thì P(x)=2

.....Tương tự với tất cả các số thực khác đều cho ra kết quả là P(x)=2

Tổng quát ta chứng minh: $P(x)=P(x+c)$ thì $P(x)$ là đa thức hằng.

Nếu $P(x)\equiv 0$ thì có điều phải chứng minh.

Xét $P(x)$ khác đa thức $0$

Giả sử $\text{deg} P(x)=n(n\ge 1)$ do đó $P(x)$ sẽ có số nghiệm $\le n$

Ta có: $P(x)=P(x+c)=P(x+2c) =...=P(x+nc)=z$ với $z$ là hằng số nào đó.

Xét đa thức $R(x)=P(x)-z$ với $\text{deg}R(x)=n$

$\Rightarrow R(x)$ nhận vô số nghiệm $x,x+c,x+2c,...,x+nc$ 

Mà $R(x)$ chỉ có tối đa $n$ nghiệm nên có điều vô lí.

Vậy $P(x)=a$ với $a$ là hằng số.

Áp dụng vào bài toán với $c=2$ thì $P(x)=P(x+2)$

$\Rightarrow P(x)$ là đa thức hằng.