sin(a+b).sin(a-b) = sin^2a - sin^2b = cos^2b - cos^2a Chứng minh 3 phương trình trên bằng nhau.

sin(a + b) . sin(a - b) = sin²a - sin²b = cos²b - cos²a

Chứng minh: 

Ta có vế trái: sin(a + b) . sin(a - b)

= (sin a cos b + sin b cos a)(sin a cos b - sin b cos a)

= (sin a cos b)² - (sin b cos a)²

= sin²a . cos²b - sin²b . cos²a

= sin²a(1 - sin²b) - sin²b(1 - sin²a)

= sin²a(1 - sin²b) - sin²b + sin²asin²b

= sin²a - sin²b (đpcm)

Ta có vế trái: sin²a - sin²b

= (1 - cos²a) - (1 - cos²b)

= 1 - cos²a - 1 + cos²b

= - cos²a + cos²b

= cos²b - cos²a (đpcm)

Vậy sin(a + b).sin(a - b) = sin²a - sin²b = cos²b - cos²a

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có :

`sin(a+b).sin(a-b)`

`= 1/2 . [cos(a + b - a +b) - cos(a + b +a -b)]`

`= 1/2[cos2b - cos2a] (*)`

Lại có `cos2x = 2cos^2x - 1`, thay vào (*) ta được

`(*)  =1/2[2cos^2b - 1 - 2cos^2a + 1] = cos^2b - cos^2a` (I)

Mặt khác `cos2x = 1 - 2sin^2x,` thay vào(*) ta được

`(*) = 1/2 .[1 - 2sin^2b - 1 +2sin^2a] = sin^2a - sin^2b` (II)

Từ (I) và (II) `=> sin(a+b).sin(a-b) = sin^2a - sin^2b = cos^2b - cos^2a (đpcm)`