Mng giúp mình bài này với ạ. Mình cảm ơn nhiều^^ Cho hình chóp `S.ABC`, `M\in AB`. `(\alpha)` qua `M////SA,BC` a) Xác định thiết diện. Tìm `M` để `S_{td} Max` b) `N\in BC:\frac{BA}{BM}+\frac{BC}{BN}=\frac{23}{5}`. CMR : `(SMN)` luôn qua đường thẳng cố định khi `M` chạy

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $: AB = c; BC = a; CA = b$

$ SA = m; MPQ = \alpha ( a; b; c; m; \alpha$ ko đổi)

$ BM = x; BN = y (x; y$ thay đổi )

a) Vẽ $ MP//SA (P ∈ SB); PQ//BC (Q ∈ SC)$

$ QR//SA (R ∈ AC)$

Thiết diện cần dựng là hbh $ MPQR$

Ta có: $ \dfrac{MP}{SA} = \dfrac{BM}{BA} $

$ ⇔ MP = \dfrac{SA}{BA}.BM = \dfrac{m}{c}.x (1)$

$ \dfrac{PQ}{BC} = \dfrac{SP}{SB} = \dfrac{AM}{AB} $$ = \dfrac{AB - BM}{AB}$

$ ⇒ PQ = \dfrac{BC}{AB}(AB - BM) = \dfrac{a}{c}(c - x) (2)$

$ (1); (2) ⇒ S_{MPQR} = MP.PQ.sin\alpha$

$ = \dfrac{ma.sin\alpha}{c²}.x(c - x) $

$ ≤ \dfrac{ma.sin\alpha}{c²}.\dfrac{1}{4}[x + (c - x)]² $$ = \dfrac{ma.sin\alpha}{4} $

$ ⇒ Max S_{MPQR} = \dfrac{ma.sin\alpha}{4}$

$ ⇔ x = c - x ⇔ x = \dfrac{c}{2} ⇔ MA = MB$

b) Để dễ nhìn đặt

$ \dfrac{BA}{BM} + \dfrac{BC}{BN} = 2k (3) (k = \dfrac{23}{10}$ ko đổi )

Trên $ BA; BC $ lần lượt lấy $E; F$ cố định  sao cho:

$ \dfrac{BA}{BE} = \dfrac{BC}{BF} = k (4)$

Không mất tổng quát giả sử 

$ \dfrac{BA}{BM} < k; \dfrac{BC}{BN} > k $

Vẽ $ NJ//EF//AC; EF∩MN = O$

Từ $ (3); (4) $ suy ra:

$ \dfrac{BA}{BE} + \dfrac{BC}{BF} $ = $ \dfrac{BA}{BM} + \dfrac{BC}{BN} $

$ ⇔ BA(\dfrac{1}{BE} - \dfrac{1}{BM}) = BC(\dfrac{1}{BN} - \dfrac{1}{BF})$

$ ⇔ BA.\dfrac{BM - BE}{BE.BM} = BC.\dfrac{BF - BN}{BF.BN}$

$ ⇒ BA.\dfrac{EM}{BE.BM} = BC.\dfrac{FN}{BF.BN} $

$ = \dfrac{BC}{BN}.\dfrac{NF}{BF} = \dfrac{BC}{BN}.\dfrac{EJ}{BE}$

$ ⇒ \dfrac{BA}{BM}.EM = \dfrac{BC}{BN}.EJ$

$ ⇔ \dfrac{EM}{EJ} = \dfrac{BC.BM}{BA.BN} = \dfrac{ax}{cy}$

$ ⇔ \dfrac{EM}{EJ + EM} = \dfrac{ax}{ax + cy}$

$ ⇒ \dfrac{OE}{JN} = \dfrac{EM}{MJ} = \dfrac{ax}{ax + cy} $

$ = \dfrac{ax}{2kxy} = \dfrac{a}{2ky} (5)$

(Từ $ (3) ⇒ ax + cy = 2kxy$)

Mặt khác:

$ \dfrac{JN}{AC} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{y}{a} (6)$

$ (5).(6) $ vế - vế:

$ \dfrac{OE}{AC} = \dfrac{1}{2k} ⇒ OE = \dfrac{b}{2k} $ ko đổi 

$ ⇒ O$ cố định $ O ∈ MN$

$ ⇒ (SMN) $ luôn qua đường thẳng $ SO$ cố định