Tìm shtq của dãy u1=1, u_n+1 = un+3n-1 -2*5^n (n>1)

Theo đề ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = {u_1} + 3.1 - 1 - {2.5^1}\\
{u_3} = {u_2} + 3.2 - 1 - {2.5^2}\\
...\\
{u_n} = {u_{n - 1}} + 3\left( {n - 1} \right) - 1 - {2.5^{n - 1}}
\end{array} \right.$

Cộng theo vế từng đẳng thức ta được:

${u_n} = 1 + 3\left[ {1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] - \left( {n - 1} \right) - 2\left[ {{5^1} + {5^2} + ... + {5^{n - 1}}} \right]$

Ta có công thức $1+2+3+...+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$. 

Lại có tổng $A=5^1+5^2+...5^{n-1}$ là tổng $n-1$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất là $a_1=5$ và $q=5$.

Suy ra $A=S_{n-1}=a_1.\dfrac{q^{n-1}-1}{q-1}\Rightarrow A=5.\dfrac{5^{n-1}-1}{4}=\dfrac{5^n}{4}-\dfrac{5}{4}$

Vậy $u_n=2-n+3\dfrac{(n-1)n}{2}-2\left[\dfrac{5^n}{4}-\dfrac{5}{4}\right]=\dfrac{1}{2}\left(3n^2-5n+9-5^n\right)$