Giải từng bước tự luận giúp em với ạ chứ ghi tắt em không hiểu:((

Đáp án:

$C$ 

Giải thích các bước giải:

$4Sin^2 2x-1=0$

`<=>` $Sin^2 2x=\dfrac{1}{4}$

`<=>` $\dfrac{1-Cos4x}{2}=\dfrac{1}{4}$

`<=>` $4(1-Cos4x)=2$

`<=>` $4-4Cos4x=2$

`<=>` $4Cos4x=2$

`<=>` $Cos4x=\dfrac{1}{2}$

`<=>` $Cos4x=Cos\dfrac{\pi}{3}$

`<=>` $\left[\begin{matrix} 4x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\ 4x=\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.$

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}(*)\\ x=\dfrac{-\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}(**)\end{matrix}\right.$

Xét họ nghiệm (*) với điều kiện đề bài:

$\dfrac{-\pi}{2}<\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}<\dfrac{\pi}{2}$

Trừ các vế của bất phương trình cho $\dfrac{\pi}{12}$ được:

$\dfrac{-\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}<\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}<\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}$

`<=>` $\dfrac{-7\pi}{12}<\dfrac{k\pi}{2}<\dfrac{5\pi}{12}$

Nhân các vế của bất phương trình cho $2$ được:

$\dfrac{-7\pi}{6}<k\pi<\dfrac{5\pi}{6}$

Chia các vế của bất phương trình cho $\pi$ được:

$\dfrac{-7}{6}<k<\dfrac{5}{6}$

Do $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=0$ hoặc $k=-1$

Khi $k=0$ thì $x=\dfrac{\pi}{12}$

Khi $k=-1$ thì $x=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{-5\pi}{12}$

Xét họ nghiệm (**) với điều kiện đề bài, làm tương tự các bước trên ta được:

$\dfrac{-5}{6}<k<\dfrac{7}{6}$

Do $k\in \mathbb{Z}$ nên $k=0$ hoặc $k=1$

Khi $k=0$ thì $x=\dfrac{-\pi}{12}$

Khi $k=1$ thì $x=\dfrac{-\pi}{12}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{12}$

$\rightarrow$ Các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài là $\dfrac{\pi}{12}$, $\dfrac{-\pi}{12},\dfrac{-5\pi}{12},\dfrac{5\pi}{12}$

Vậy tổng các nghiệm là $\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{-\pi}{12}+\dfrac{-5\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}=0$