Gíup mình tính mấy biểu thức bài này với , mình cảm ơn..

`1)`

Do `pi < x < (3pi)/2` `=>` `cosx=-sqrt(1-sin^2x)=-(2sqrt2)/3`

Ta có:

`sin2x = 2sinxcosx = (4sqrt2)/9`

`cos2x=1-2sin^2x=7/9`

`=>` `tan2x=(sin2x)/(cos2x)=(4sqrt2)/7`

`=>` `cot2x= 1/(tan2x)=(7sqrt2)/8`

Ta có: `cosx = 1-2sin^2 \ x/2`

`=>` `sin^2 \ x/2=(1-cosx)/2=(3+2sqrt2)/6`

Do `pi < x < (3pi)/2` `=>` `pi/2 < x/2 < (3pi)/4`

`=>` `sin \ x/2 > 0`

`=>` `sin \ x/2 = (sqrt(18+12sqrt2))/6`

Do `pi/2 < x/2 < (3pi)/4` `=>` `cosx \ x/2 = -sqrt(1-sin^2 \ x/2)=-(sqrt(18-12sqrt2))/6`

`=>` `tan \ x/2 = -sqrt(17+12sqrt2)` và `cot \ x/2 = -sqrt(17-12sqrt2)`

`2)`

Ta có: `tanx=4` `=>` `sinx=4cosx`

`=>` `sin^2x=16cos^2x`

`=>` `cos^2x=1/17`

`=>` `sin^2x=16/17`

`A = tan2x-3sin(2x-pi/2)`

`=tan2x+3sin(pi/2-2x)`

`=tan2x+3cos2x`

`=(2tanx)/(1-tan^2x)+3(1-sin^2x)`

`=(2*4)/(1-16)+3*(1-16/17)`

`=-91/255`

`3)`

Ta có: `cotx=5` `=>` `tanx=1/5`

`A = tan2x-tan(x-pi/4)`

`=(2tanx)/(1-tan^2x)-(tanx-tan \ pi/4)/(1+tanx*tan \ pi/4)`

`=(2*1/5)/(1-1/25)-(1/5-1)/(1+1/5)`

`=13/12`

1.
a. Tính lượng giác của góc \(2x\):
\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\]
Và
\[\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\]

Vì \(\sin(x) = -\frac{1}{3}\), có thể tính \(\cos(x)\) bằng cách sử dụng công thức:
\[\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\]
\[\cos^2(x) + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1\]
\[\cos^2(x) + \frac{1}{9} = 1\]
\[\cos^2(x) = \frac{8}{9}\]
\[\cos(x) = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Vì \(x\) nằm trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}\), nên \(\cos(x)\) là âm trong khoảng này.

Nên: \(\cos(x) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Tính \(\sin(2x)\):
\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) = 2\left(-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}\]

b. Tính lượng giác của góc \(\frac{x}{2}\):

\[\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}\]

Và vì \(\cos(x) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\), có:
\[\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}{2}} = \pm\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}}\]

Tùy thuộc vào dấu của \(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\), giá trị của nó có thể là \(\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}}\) hoặc \(-\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}}\).

Vậy, kết quả là:

\[\sin(2x) = \frac{4\sqrt{2}}{9}\]
\[\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{6}}\]

2. 
a. Tính giá trị của \(\tan(2x)\):
\[\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\]

Với \(\tan(x) = 4\), có:
\[\tan(2x) = \frac{2 \cdot 4}{1 - 4^2} = -\frac{8}{15}\]

b. Tính giá trị của \(\sin(2x - \frac{\pi}{2})\):
\[\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \cos(2x)\]

Và \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). Với \(\tan(x) = 4\), có thể tính giá trị của \(\sin(x)\) và \(\cos(x)\):
\[\sin(x) = \frac{\tan(x)}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} = \frac{4}{\sqrt{1 + 4^2}} = \frac{4}{\sqrt{17}}\]
\[\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2(x)}} = \frac{1}{\sqrt{17}}\]
Và:
\[\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \frac{1}{17} - \frac{16}{17} = -\frac{15}{17}\]
c. Tính giá trị của biểu thức \(A\):
\[A = \tan(2x) - 3\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = -\frac{8}{15} - 3 \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) = -\frac{8}{15} + \frac{45}{17}\]
\[A = -\frac{8 \cdot 17}{15 \cdot 17} + \frac{45 \cdot 15}{17 \cdot 15} = -\frac{136}{255} + \frac{675}{255} = \frac{539}{255} = \frac{77}{51}\]

Vậy, giá trị của biểu thức \(A\) là \(\frac{77}{51}\).
3.
a.Tính giá trị của \(\tan(2x)\):
\[\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\]

Với \(\cot(x) = 5\), ta có \(\tan(x) = \frac{1}{\cot(x)} = \frac{1}{5}\).
\[\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}\]

b. Tính giá trị của \(\tan(x - \frac{\pi}{4})\):
\[\tan(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan(x) - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan(x)\tan(\frac{\pi}{4})}\]

Với \(\tan(\frac{\pi}{4}) = 1\), có:
\[\tan(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{1}{5} - 1}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]
c. Tính giá trị của biểu thức \(A\):
\[A = \tan(2x) - \tan(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{5}{12} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{5}{12} + \frac{2}{3}\]
\[A = \frac{5}{12} + \frac{8}{12} = \frac{13}{12}\]

Vậy, giá trị của biểu thức \(A\) là \(\frac{13}{12}\).