Cho phương trình : `x^2-(2m+1)x+m^2+2=0` Tìm `m` để phương trình thỏa mãn hệ thức : `3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 2 = 0 (a = 1; b = -(2m + 1); c = m^2 + 2)$

$\Delta = b^2 - 4ac = [-(2m + 1)]^2 - 4(m^2 + 2)$

$= 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 8$

$= 4m - 7$

Phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$

$\Rightarrow \Delta \ge 0$

$\Rightarrow 4m - 7 \ge 0$

$\Leftrightarrow m \ge \dfrac{7}{4}$
Theo định lý Viet, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2m + 1}{1} = 2m + 1 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m^2 + 2}{1} = m^2 + 2\end {cases}$

Ta có: 

$3x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3(m^2 + 2) - 5(2m + 1) + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3m^2 + 6 - 10m - 5 + 7 = 0$

$\Leftrightarrow 3m^2 - 10m + 8 = 0$

$\Leftrightarrow (m - 2)(3m - 4) = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m=2(tm)\\m=\dfrac{4}{3}(ktm)\end{array} \right.\) 

$\Rightarrow m = 2$

Vậy với $m = 2$ thì phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thoả mãn hệ thức $3x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 7 = 0$

`x^2-(2m+1)x+m^2+2=0`

Ta có : `Delta=[-(2m+1)]^2-4*1*(m^2+2)`

`=4m^2+4m+1-4m^2-8`

`=4m-7`

Để phương trình có hai nghiệm `x_1` ; `x_2` thì : `Delta>=0`

`<=>4m-7>=0`

`<=>4m>=7`

`<=>m>=7/4`

`=>` Với `m>=7/4` thì phương trình có hai nghiệm `x_1` ; `x_2`

Theo hệ thức Vi-ét ta có : `{(x_1+x_2=2m+1),(x_1x_2=m^2+2):}`

Theo bài ra ta có : `3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0`

`<=>3(m^2+2)-5(2m+1)+7=0`

`<=>3m^2+6-10m-5+7=0`

`<=>3m^2-10m+8=0`

Ta có: `Delta'=(-5)^2-3*8=1>0`

`=>` Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

`m_1=(5+sqrt1)/3=2` (thỏa mãn)

`m_2=(5-sqrt1)/3=4/3` (không thỏa mãn)

Vậy `m=2` là giá trị cần tìm

`#td`