Cho tứ giác ABCD có ABC = ADC = 90 độ, AB = a, AD = 3a, BAD = 60 độ Tính AC.

Ta có thể giải bài toán này bằng định lí Pythagoras và định lí sin của góc 60 độ.
Gọi `M` là trung điểm của `AC`, ta có:

-Tam giác `ABC` vuông tại `A` nên `AB^2 + BC^2 = AC^2.`
-Tam giác `ADC` vuông tại `A` nên `AD^2 + DC^2 = AC^2.`
-Tam giác `BAD` có `BAD = 60 độ nên ta có: BD = BA x √3.`
-Ta có `AM = MC` vì `M `là trung điểm của `AC.` Từ đó suy ra: `AB^2 + BC^2 = AD^2 + DC^2 ⇔ a^2 + BC^2 = 9a^2 + DC^2 ⇔ BC^2 - DC^2 = 8a^2 ⇔ (BC - DC)(BC + DC) = 8a^2 ⇔ (a√3)(BC + DC) = 8a^2 ⇔ BC + DC = 8√3a/3 (do BD = BA x √3) ⇔ BM = MC = 4√3a/3`
-Tam giác `ABM` vuông tại `A` nên `AB^2 + BM^2 = AM^2. ⇔ a^2 + (4√3a/3)^2 = AC^2/4 ⇔ a^2 + 16a^2/3 = AC^2/4 ⇔ AC^2 = 28a^2/3 ⇔ AC = 2a√21/3.`
Vậy kết quả là `AC = 2a√21/3.`

Với AB = a và AD = 3a, ta có:

`AC^2 = AB^2 + BC^2`

Vì ABCD là tứ giác, nên ta có ABC = ADC = 90 độ. Do đó, tam giác ABC và tam giác ADC đều là tam giác vuông.

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

`BC^2 = AC^2 - AB^2`
`BC^2 = AC^2 - a^2`

Trong tam giác vuông ADC, ta có:

`BC^2 = AC^2 - AD^2`
`BC^2 = AC^2 - (3a)^2`
`BC^2 = AC^2 - 9a^2`

Vì BC cùng độ dài trong cả hai tam giác ABC và ADC, ta có:

`AC^2 - a^2 = AC^2 - 9a^2`

Rút gọn phương trình, ta có:

`-a^2 = -9a^2`

Giải phương trình trên, ta thu được:

`8a^2 = 0`

`=>PT` không có nghiệm.