Cho `A` là tập hợp chứa các ước nguyên của `1500`. Số tập con của `A` là $a^{b}$. Tính `a+b` ?

Phân tích $1500$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$1500 = {2^3}{.3.5^3}$

Ta có số ước nguyên của $1500$ là $(3+1)(1+1)(3+1)=4.2.4=32$

Số tập hợp là tập con của của $A$ là $2^{32}$ hay ta có công thức số tập con của tập hợp chứa $n$ phần tử là $2^n$

Chứng minh theo quy nạp

Với $n=0$ thì số tập con của tập hợp gồm $0$ phần tử là $2^0=1$ hay đó phần tử rỗng

Với $n=1$ thì số tập con của tập hợp gồm $0$ phần tử là $2^1=2$ tính cả phần tử rỗng.

Giả sử với $n=k$ thì số tập hợp con là $2^k$ là đúng. Ta đi chứng minh với $n=k+1$ thì số tập hợp con sẽ là $2^{k+1}$

Thật vậy với $n=k+1$ thì số tập hợp con sẽ là $2^k+2^k=2.2^k=2^{k+1}$. Vậy định lý được chứng minh

Suy ra số tập hợp con của tập $A$ là $2^32\Rightarrow a=2,b=32$

Suy ra $a+b=34$