Cho mệnh đề chứa biến P(x) :"x>x".Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng

Ta có : `overline{P(x)}=` ''`\sqrt{x} > x`''

Để `overline{P(x)}` là mệnh đề đúng thì :

`\sqrt{x} > x` `( ĐK : x >= 0 )`

`<=> ( \sqrt{x} )^2 > x^2`

`<=> x > x^2`

`<=> x - x^2 > 0`

`<=> x ( 1 - x ) > 0`

$\bullet$ TH`1` : `{(x > 0),(1 - x > 0):} <=> {(x > 0),(x < 1):} <=> 0 < x < 1`

$\bullet$ TH`2` : `{(x < 0),(1 - x < 0):} <=> {(x < 0),(x > 1):} <=> \text{Vô lý}`

Kết hợp với ĐK ta được `0 < x < 1`

Vậy `overline{P(x)}` đúng `<=> 0 < x < 1`

Mệnh đề `P(x)`:`\sqrtx > x` 

Điều kiện: `x \ge 0`

Để mệnh đề `P(x)` là mệnh đề đúng thì 

`\sqrtx - x > 0`

`\iff \sqrtx - (\sqrtx)^2 > 0`

`\iff \sqrtx(1-\sqrtx) > 0(\star)`

Tuy nhiên với `x \ge 0` thì `\sqrt{x} \ge 0 `

Do `\sqrtx(1-\sqrtx) != 0` nên `[(\sqrtx != 0),(1 - \sqrtx != 0):} \iff [(x != 0),(x != 1):}`

Do đó bất đẳng thức `(\star)` tương đương với

`1 - \sqrtx > 0 \iff \sqrtx < 1 \iff x < 1`

Kết hợp với điều kiện ta được `0 < x < 1`

Vậy với `x \in (0;1)` thì mệnh đề `P(x)` là mệnh đề đúng.