Câu hơi khó mong mọi người giúp ạ ($(I)$ là mệnh đề đúng em làm ra rồi ,còn $(I),(II)$ chưa biết đúng sai

Đáp án:

 `C.`

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Xét Mệnh đề `I`:

`x^2+1/x^2=7`

`<=>x^2+2+1/x^2=9`

`<=>(x+1/x)^2=9`

`<=>[(x+1/x=3),(x+1/x=-3):}`

Hay `x+1/x\in ZZ`.

`=>x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)`

Do `x^2+1/x^2-1=6;x+1/x\in ZZ`

`=>x^3+1/x^3\in ZZ`

`=>(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)\in ZZ`

`=x^5+1/x^5+x+1/x\in ZZ`

Mà `x+1/x\in ZZ` nên M Đ l ` True`.

Xét Mệnh đề ll:

Từ `gt,` ta có:

`x; y` không đồng thời bằng `2` và -3.

`x≥2;y≥-3.`

Theo bunhiacopxki, ta có:

`(sqrt(x-2)+sqrt(y+3))^2≤(1+1)(x-2+y+3)`

`=2(x+y+1)`

`=>2(sqrt(x-2)+sqrt(y+3))≤2sqrt(2(x+y+1))`

Hay `x+y+1≤2sqrt(2(x+y+1))`

`=>sqrt(x+y+1)≤2sqrt2`.

`=>x+y+1≤8`

`=>x+y≤7`

`=>M=7.` Dấu "=" tại `{(x-2=y+3),(x+y=7):}`

`<=>x=6;y=1.`

Từ gt, ta tiến hành bình phương 2 vế, được:

`(x+y+1)^2=4(sqrt(x-2)+sqrt(y+3))^2`

`<=>(x+y+1)^2=4(x-2+y+3)+8sqrt((sqrt(x-2).sqrt(y+3))`

`<=>(x+y+1)^2-4(x+y+1)=8sqrt((sqrt(x-2).sqrt(y+3))≥0`

`=>(x+y+1)(x+y+1-4)≥0`

`=>(x+y+1)(x+y-3)≥0`

Do: `x+y+1=x-2+y+3>0` nên:

`x+y-3≥0<=>x+y≥3.`

`=>m=3` 

Dấu `"="` tại: `[({(x-2=0),(y+3=4):}),({(x-2=4),(y+3=0):}):}`

`<=>[(x=2;y=1),(x=6;y=-3):}`

Vậy `M+m=7+3=10=>True`.

Xét Mệnh đề lll:

`gt=>(x+y+2)/3=x/y+y/x-1/x-1/y`

`=>(x+y)/3+(1/x+1/y)+2/3=(x^2+y^2)/(xy)`

`<=>x/y+y/x≥2sqrt((x+y)/3. (1/x+1/y))+2/3`

`<=>x/y+y/x-2/3≥2sqrt((2+x/y+y/x)/3)(4)`

Đặt `t=x/y+y/x(t≥2)`

`(4)<=>t-2/3≥2sqrt((2+t)/3)`

`<=>t^2-4t/3+4/9≥4.(2+t)/3`

`<=>9t^2-12t+4≥24+12t`

`<=>9t^2-24t-20≥0`

`<=>(3t-10).(3t-2)≥0`

Do t≥2 nên 

`3t-10≥0<=>t≥10/3.`

Dấu "=" tại: `x=3;y=1` hoặc `x=1;y=3`.

`=>False.`

`=>` Chọn toàn C.

`@nguyen nam500#hoidap247.`

Ý $II$:

Điều kiện xác định $x\ge 2, y\ge -3\Rightarrow x+y+1\ge 0$. Từ điều kiện $(x-2)^2+(y+3)^2>0$ suy ra được $x,y$ không đồng thời bằng $2$ và $-3$

$x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})^2\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(x-2+y+3+2\sqrt{x-2}.{y+3})\\ (x+y+1)^2=4(x+y+1)+8\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}$

Do $8\sqrt{x-2}{y+3}\ge 0$ nên $(x+y+1)^2\ge 4(x+y+1)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+y+1\le 0\\x+y+1\ge 4\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+y+1=0(\text{Loại}) 0\\x+y\ge 3\end{array} \right.$

Dấu bằng xảy ra

$\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 3\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $2\sqrt{x-2}\sqrt {y+3}\le x-2+y+3\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\le x+y+1$

Từ đó suy ra $(x+y+1)^2=4(x+y+1)+8\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\le 4(x+y+1)+4(x+y+1)\Rightarrow (x+y+1)^2\le 8(x+y+1)\Leftrightarrow 0\le x+y+1\le 8$

$\Rightarrow x+y\le 7$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x+y=7$ và $x-2=y-3$. Suy ra $x=3, y=4$

Vậy $M+m=3+7=10$ đúng

Ý $III$ Sai 

$\begin{array}{l}
\dfrac{{x + y + 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{x} + \dfrac{{x - 1}}{y}\\
 \Leftrightarrow x + y + 2 = 3\left( {\dfrac{{y - 1}}{x} + \dfrac{{x - 1}}{y}} \right)\\
 \Leftrightarrow x + y + 2 = 3.\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 2 = 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right)\\
 \Leftrightarrow 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) = \left( {x + y} \right) + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 2 \ge 2\sqrt {3\left( {x + y} \right).\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)}  + 2\\
 \Leftrightarrow 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \ge 2\sqrt {3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 2} \right)}  + 2\\
 \Leftrightarrow 3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) \ge 2\sqrt {3\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 6}  + 2\\
\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = t \Rightarrow 3t \ge 2\sqrt {3t + 6}  + 2\\
 \Leftrightarrow 3t - 2 \ge 2\sqrt {3t + 6}  \Leftrightarrow {\left( {3t - 2} \right)^2} \ge 4\left( {3t + 6} \right)\\
 \Leftrightarrow 9{t^2} - 12t + 4 \ge 12t + 24\\
 \Leftrightarrow 9{t^2} - 24t - 20 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t \ge \dfrac{{10}}{3}\\
t \le  - \dfrac{2}{3}(L)\left( {x,y > 0 \Rightarrow t > 0} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge \dfrac{{10}}{3}
\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi 

$\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\\
\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{{10}}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3,y = 1\\
x = 1,y = 3
\end{array} \right.$

Chọn $C$