cho tứ giác ABCD có M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB , CD , AD , BC . Chứng minh $\overrightarrow{MP}$ = $\overrightarrow{QN}$ và $\overrightarrow{MQ}$ = $\overrightarrow{PN}$

(Hình ở phía dưới nhé)

Xét tam giác $ABC$ ta có:

$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ (do nó đi qua trung điểm 2 cạnh AB,BC của tam giác $ABC$)

Đường trung bình của tam giác đi qua 2 cạnh thì sẽ song song với cạnh còn lại của tam giác nên

$MQ$ // $AC$ (do ở đây cạnh còn lại là AC)

Tương tự ta cũng chứng minh được: $PN//AC$

Do $MQ$ // $AC$ và $PN//AC$

nên $MQ$//$PN$

Xét tam giác $ABD$ và $BCD$ và làm như trên ta sẽ chứng minh được: $PM$//$NQ$

Từ 2 điều: $MQ$//$PN$ và $PM$//$NQ$

thì tứ giá $MPNQ$ là hình bình hành.

Từ đây có thể suy ra:

$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{QN}$

và $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PN}$

(nếu bạn chưa biết tại sao lại suy ra thì khi $MPNQ$ là hình bình hành ta có: $MP=QN$ hay $|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{QN}|$

do $MP$//$QN$ thì $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{QN}$ cùng phương, bây giờ chúng có thể cùng chiều hoặc ngược chiều bây giờ bạn vẽ hai vector $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{QN}$  như trong hình thì rõ ràng chúng cùng hướng vậy 2 vector này cùng hướng cùng độ dài nên chúng bằng nhau, tương tự bạn cũng sẽ chứng minh được $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PN}$ khi $MPNQ$ là hình bình hành)