chứng minh định lý sau đây bằng phương pháp chứng minh phản chứng Nếu n là số tự nhiên và n^2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5,

Giả sử `n` là số tự nhiên và `n^2` chia hết cho `5` thì `n` không chia hết cho `5`

`=>n` có dạng `5k+r` với `1<=r<=4;r\in NN`

Khi đó : `n^2 =(5k+r)^2 =(5k)^2 +2.5k.r+r^2`

`=25k^2 +10kr+r^2` 

Do `25k^2 +10kr=5(5k^2 +2kr)\vdots 5`; mà với `1<=r<=4` và `r\in NN` thì `r^2` không chia hết cho `5` `=>n^2 =25k^2 +10kr+r^2` không chia hết cho `5` ( Mâu thuẫn với giả thiết )

`=>` Điều giả sử sai

Vậy với `n` là số tự nhiên và `n^2` chia hết cho `5` thì `n` chia hết cho `5`

Phản chứng giả sử điều ngược lại của mệnh đề trên

Nếu `n \in NN` và `n^2 \vdots 5` thì `n` $\not\vdots$ `5`

Xét `n = 5k + 1`

`-> n^2 = 25k^2 + 10k + 1` $\not\vdots$ `5`

`->` Loại

Xét `n = 5k + 2`

`-> n^2 = 25k^2 + 20k + 4` $\not\vdots$ `5`

`->` Loại

Tương tự các trường hợp `n = 5k + 3 ; n = 5k + 4` cũng loại

Vậy giả sử sai hay định lý trên đúng