Mong đủ lời giải hướng dẫn ạ ~

   $\textit{Tóm tắt:}$

$U=36V$

$r=1~\Omega$

$U_{đ m1}=U_{đ m2}=6V$

$\mathscr{P}_{đ m1}=12W$

$\mathscr{P}_{đ m1}=6W$

$\underline{R=10~\Omega\hspace{40pt}}$

Tìm vị trí của $C$ sao cho:

$\boldsymbol{\S a}~Đ_2$ sáng bình thường.

$\boldsymbol{\S b}~\mathscr{P_1}~\min$

$\boldsymbol{\S c}~\mathscr{P_1}~\max$ (Giả sử đèn không hỏng khi $\mathscr{P_1}$ vượt qua định mức)

$\underline{\hspace{100pt}}$

   $\textit{Hướng dẫn:}$

$\boldsymbol{\S a}$

$-$ Đặt điện trở của $1$ đoạn của biến trở (Ví dụ như là $AC$) là $x$, suy ra điện trở đoạn còn lại là $R-x$ (Với $R$ là điện trở toàn phần của biến trở)

$-$ Tìm điều kiện cho $x$.

$-$ Biểu diễn các đại lượng còn lại theo $x$ cho đến khi được phương tình bậc nhất ẩn $x$.

$-$ Giải phương trình, so sánh điều kiện, loại nghiệm không thỏa mãn.

$-$ Kết luận.

$\boldsymbol{\S b}$

$-$ Biểu diễn $\mathscr{P_1}$ theo $x$.

$-$ Tìm $\min$ của biểu thức trên:

$+$ Mỗi bài sẽ có một kiểu biến đổi riêng, thường thấy ở dạng này là đưa phần chứa biến về dạng $(A+B)^2+C$. Cách giải cụ thể ở dưới.

$\boldsymbol{\S c}$

$-$ Biểu diễn $\mathscr{P_1}$ theo $x$.

$-$ Tìm $\max$ của biểu thức trên:

$+$ Dựa vào điều kiện của $x$, ta xét $2$ khoáng giá trị của $x$. Cụ thể ở bài này, ta xét $x-4>0$ và $x-4<0$.

$+$ Sau khi tìm ra $\mathscr{P}_{1_\max}$ của cả $2$ khoảng, ta chọn giá trị lớn hơn.

$*$ Lưu ý: Nên biến đổi cho cả $2$ vế đều dương rồi mới bình phương, nếu để hai vế âm dễ quên đổi dấu dẫn đến sai.

Vd: $*$ Xét $x-4<0$:

$x-4\ge-4$ (Hai vế đều âm)

$\Leftrightarrow 4-x\le4$ (Hai vế đều dương)

$\Leftrightarrow (4-x)^2=(x-4)^2\le16$

$\underline{\hspace{100pt}}$

                          $\textit{Giải:}$

$R_1=\dfrac{{U_{đ m1}}^2}{\mathscr{P_1}}=\dfrac{6^2}{12}=3~(\Omega)$

$R_2=\dfrac{{U_{đ m2}}^2}{\mathscr{P_2}}=\dfrac{6^2}{6}=6~(\Omega)$

$\boldsymbol{\S a}$

Đặt $R_{AC}=x\Rightarrow R_{CB}=10-x~(0\le x\le10)$

$R_{1AC}=R_1+x=x+3~(\Omega)$

$R_{1AC2}=\dfrac{R_{1AC}R_2}{R_{1AC}+R_2}=\dfrac{6x+18}{x+9}~(\Omega)$

$R=R_{1AC2}+R_{CB}+r=\dfrac{6x+18}{x+9}+10-x+1=\dfrac{6x+18+(11-x)(x+9)}{x+9}=\dfrac{-x^2+8x+117}{x+9}~(\Omega)$

$I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{36(x+9)}{-x^2+8x+117}~(A)$

$U_{1AC}=U_2=IR_{1AC2}=\dfrac{36(x+9)}{-x^2+8x+117}\cdot\dfrac{6x+18}{x+9}=\dfrac{216x+648}{-x^2+8x+117}~(V)$

Mà $Đ_2$ sáng bình thường

Nên $U_2=U_{đ m2}=6V$

$\Leftrightarrow\dfrac{216x+648}{-x^2+8x+117}=6$

$\Leftrightarrow36x+108=-x^2+8x+117$

$\Leftrightarrow x^2+28x-9=0~(a=1;b=28;b'=14;c=-9)$

$\Delta'={b'}^2-ac=14^2-1\cdot(-9)=205>0$

$\Delta'>0\Rightarrow$ Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.

$\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=-14+\sqrt{205}\approx0,32~(\Omega)~(\rm TM)\\x=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=-14-\sqrt{205}\approx-28,32~(\Omega)~(\rm Loại)\end{array}\right.$

Vậy khi $C$ ở vị trí sao cho $R_{AC}=-14+\sqrt{205}~\Omega$ thì $Đ_2$ sáng bình thường.

$\boldsymbol{\S b}$

$I_1=\dfrac{U_{1AC}}{R_{1AC}}=\dfrac{\dfrac{216x+648}{-x^2+8x+117}}{x+3}=\dfrac{216}{-x^2+8x+117}~(A)$

$\mathscr{P_1}=I_1^2R_1=\left(\dfrac{216}{-x^2+8x+117}\right)^2\cdot3$

$=\left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\cdot3$

Ta có: $(x-4)^2\ge0$

$\Leftrightarrow-(x-4)^2\le0$

$\Leftrightarrow-(x-4)^2+133\le133$

$\Leftrightarrow\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\ge\dfrac{216}{133}$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\ge\left(\dfrac{216}{133}\right)^2$

$\Leftrightarrow\mathscr{P_1}=\left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\cdot3\ge\left(\dfrac{216}{133}\right)^2\cdot3\approx7,91~(W)$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow x=4$

Vậy khi $C$ ở vị trí sao cho $R_{AC}=4~\Omega$ thì $\mathscr{P_1}$ đạt $\min$.

$\boldsymbol{\S c}$

Ta có: $0\le x\le10\Leftrightarrow -4\le x-4\le6$

$*$ Xét trong khoảng $x-4>0$:

      $x-4\le6$

$\Leftrightarrow (x-4)^2\le36$

$\Leftrightarrow -(x-4)^2\ge-36$

$\Leftrightarrow -(x-4)^2+133\ge97$

$\Leftrightarrow \dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\le\dfrac{216}{97}$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\le\left(\dfrac{216}{97}\right)^2$

$\Leftrightarrow \mathscr{P}_1=\left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\cdot3\le\left(\dfrac{216}{97}\right)^2\cdot3\approx14,88~(W)$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x-4=6\Leftrightarrow x=10~(\Omega)~(TM)~^{1)}$

$*$ Xét trong khoảng $x-4<0$:

      $x-4\ge-4$

$\Leftrightarrow (x-4)^2\le16$

$\Leftrightarrow -(x-4)^2\ge-16$

$\Leftrightarrow -(x-4)^2+133\ge117$

$\Leftrightarrow \dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\le\dfrac{216}{117}$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\le\left(\dfrac{216}{117}\right)^2$

$\Leftrightarrow \mathscr{P}_1=\left(\dfrac{216}{-(x-4)^2+133}\right)^2\cdot3\le\left(\dfrac{216}{117}\right)^2\cdot3\approx10,22~(W)$

Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x-4=-4\Leftrightarrow x=0~(\Omega)~(TM)~^{2)}$

Từ $^{1)}$ và $^{2)}$, suy ra: $\mathscr{P_1}_\max\approx14,88W$ tại $x=10$ hay $C\equiv B$

Vậy khi $C\equiv B$ thì $\mathscr{P_1}$ đạt $\max$.