Bài 3.27 trang 42 SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống: Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D...

Đề bài :

Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho \(BD = DE = EC\). Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\Delta \)ABC vuông cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\), \(AB = AC\)

Vì \(GD \bot BC\) nên \(\widehat {GDB} = \widehat {GDE} = {90^0}\)

Vì \(FE \bot BC\) nên \(\widehat {FED} = \widehat {FEC} = {90^0}\)

Tam giác BDG có: \(\widehat {GDB} = {90^0},\widehat B = {45^0}\) nên tam giác GBD vuông cân tại D, do đó, \(\widehat {BGD} = {45^0}\) và \(BD = GD\)

Mà \(BD = DE\) nên \(GD = DE\)

Tam giác GBD và tam giác FCE có:

\(\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = {90^0},\widehat B = \widehat C = {45^0},BD = EC\)

Do đó, \(\Delta GDB = \Delta FEC\left( {cgv - gn} \right)\), suy ra \(BG = FC\)

Mà \(AB = AC\) (cmt) nên \(AB - BG = AC - FC\), suy ra \(GA = FA\)

Tam giác GAF vuông tại A có \(GA = FA\) nên tam giác GAF vuông cân tại A. Do đó, \(\widehat {FGA} = {45^0}\)

Ta có: \(\widehat {FGA} + \widehat {FGD} + \widehat {DGB} = {180^0}\)

\({45^0} + \widehat {FGD} + {45^0} = {180^0}\), suy ra \(\widehat {FGD} = {90^0}\)

Tứ giác GDEF có: \(\widehat {GDE} + \widehat {FED} + \widehat {FGD} + \widehat {GFE} = {360^0}\)

Nên \(\widehat {GFE} = {90^0}\)

Tứ giác DEFG có: \(\widehat {GDE} = \widehat {FED} = \widehat {FGD} = \widehat {GFE} = {90^0}\) nên DEFG là hình chữ nhật, mà \(GD = DE\) nên DEFG là hình vuông.